الهندسة الفضائية، الجداء السلمي، المستوي، الفلكة والاستدلال بالتراجع

📸 الوثيقة المرجعية الرسمية للدرس (الأستاذ توامي Maths - mathonec.com):

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

---

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

1. أساسيات الهندسة التحليلية في الفضاء (O; i⃗, j⃗, k⃗)

• مركبات الشعاع AB⃗: (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)
• المسافة بين نقطتين (طويلة الشعاع):
  AB = ||AB⃗|| = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²]
• إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة I: ((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2 ; (z_A+z_B)/2)

2. الجداء السلمي في الفضاء وشرط التعامد

ليكن الشعاعان u⃗(x; y; z) و v⃗(x'; y'; z'):

• العبارة التحليلية للجداء السلمي: u⃗ · v⃗ = x·x' + y·y' + z·z'
• شرط تعامد شعاعين: u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗ · v⃗ = 0 ⟺ x·x' + y·y' + z·z' = 0
• شرط توازي شعاعين (الارتباط الخطي): u⃗ // v⃗ ⟺ يوجد عدد k حقيقي بحيث u⃗ = k v⃗

3. المعادلة الديكارتية لمستوٍ في الفضاء (P)

• المعادلة الديكارتية لأي مستوٍ تكتب على الشكل:
  ax + by + cz + d = 0 (حيث a, b, c ليست معدومة معاً)
• الشعاع n⃗(a; b; c) هو شعاع ناظمي (عمودي) على المستوي (P).

بعد نقطة A عن مستوٍ (P):

4. المعادلة الديكارتية لسطح كرة (فلكة Sphère)

معادلة سطح كرة مركزها Ω(x₀; y₀; z₀) ونصف قطرها R:

• تقاطع مستوٍ مع سطح كرة: نحسب المسافة d = d(Ω; P):
  • إذا كان d > R: التقاطع خالٍ (المستوي يقع خارج سطح الكرة).
  • إذا كان d = R: المستوي مماس لسطح الكرة في نقطة وحيدة H.
  • إذا كان d < R: التقاطع هو دائرة نصف قطرها: r = √(R² - d²).

5. المرجح في الفضاء وحساب الحجوم

• مرجح الجملة المثقلة: G = bar{(A, α); (B, β); (C, γ)} (بشرط α + β + γ ≠ 0):
  x_G = (α x_A + β x_B + γ x_C) / (α + β + γ)
• مركز ثقل المثلث ABC: x_G = (x_A + x_B + x_C) / 3
• حجم رباعي الوجوه (هرم):
  V = (1 / 3) × مساحة القاعدة × الارتفاع

6. التمثيل الوسيطي ومجموعات النقط في الفضاء

• التمثيل الوسيطي لمستقيم (D) يشمل النقطة A(x_A; y_A; z_A) وشعاع توجيهه u⃗(a; b; c):
  • x = x_A + a·t
  • y = y_A + b·t (مع t ∈ ℝ)
  • z = z_A + c·t
• AM⃗ · n⃗ = 0 : مستوٍ يشمل النقطة A و n⃗ شعاع ناظمي له.
• AM = BM : المستوي المحوري للقطعة المستقيمة [AB].
• AM = R : سطح كرة مركزها A ونصف قطرها R.
• AM⃗ · BM⃗ = 0 : سطح كرة قطرها القطعة المستقيمة [AB].

7. الاستدلال بالتراجع (البرهان بالتراجع)

للبرهان بالتراجع على صحة خاصية P(n) من أجل كل عدد طبيعي n ≥ n₀، نتبع 3 خطوات منهجية:

1. مرحلة التحقق (الرتبة الأولى): نتأكد من صحة الخاصية من أجل أول قيمة n = n₀ (أي نحسب ونتأكد أن P(n₀) محققة).
2. مرحلة فرضية التراجع: نفرض أن الخاصية P(n) صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي n ≥ n₀.
3. مرحلة البرهان: نبرهن انطلاقاً من الفرضية صحة الخاصية من أجل الرتبة الموالية P(n + 1).
4. الخاتمة: نستنتج أنه حسب مبدأ الاستدلال بالتراجع، الخاصية P(n) صحيحة دوماً لكل n ≥ n₀.