التفسيرات الهندسية للاشتقاقية، التناظر والوضع النسبي

---

1. التفسير الهندسي للعدد المشتق ومعادلة المماس

العدد المشتق f'(x₀) يمثل بيانيا معامل توجيه المماس لمنحنى الدالة (Cf) عند النقطة ذات الفاصلة x₀.

أ. معادلة المماس العامة

ب. الحالات الخاصة للمماسات

• مماس أفقي: إذا كانت f'(x₀) = 0، فإن معادلة المماس هي: y = f(x₀) (موازي لمحور الفواصل).
• مماسات موازية لمستقيم: إذا طُلب مماس يوازي مستقيماً معادلته y = ax + b، نقوم بحل المعادلة: f'(x) = a.
• مماسات متعامدة مع مستقيم: إذا طُلب مماس يعامد مستقيماً معامله a، نحل: f'(x) × a = -1.

---

2. دراسة قابلية الاشتقاق على اليمين واليسار وأنصاف المماسات

الحالة التحليلية	النتيجة الهندسية البيانية
f'd(x₀) = f'g(x₀) = L	الدالة قابلة للاشتقاق عند x₀؛ والمنحنى يقبل مماساً وحيداً معامله L.
f'd(x₀) ≠ f'g(x₀) (كلاهما منتهٍ)	النقطة A(x₀; f(x₀)) نقطة زاوية (Point Anguleux)؛ يقبل المنحنى نصفي مماسين مختلفين.
lim_{x → x₀⁺} [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀) = +∞	نصف مماس عمودي موجه نحو الأعلى (على اليمين).
lim_{x → x₀⁺} [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀) = -∞	نصف مماس عمودي موجه نحو الأسفل (على اليمين).
lim_{x → x₀⁻} [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀) = +∞	نصف مماس عمودي موجه نحو الأسفل (على اليسار، لأن المقام سالباً).
lim_{x → x₀⁻} [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀) = -∞	نصف مماس عمودي موجه نحو الأعلى (على اليسار، لأن سالب على سالب موجب).

---

3. نقاط الانعطاف (Points d'Inflexion)

النقطة I(x₀; y₀) هي نقطة انعطاف لمنحنى الدالة (Cf) (حيث يغير المنحنى تقعره ويخترقه المماس) في الحالات التالية:

1. المشتقة الثانية: إذا كانت f''(x) تنعدم عند x₀ وتغير إشارتها.
2. المشتقة الأولى: إذا كانت f'(x) تنعدم عند x₀ ولا تغير إشارتها (مثال: دالة التكعيب x³ عند الصفر).
3. المماس: إذا كان مماس المنحنى يخترق المنحنى عند النقطة I.

---

4. شفعية دالة (الدالة الزوجية والفردية)

ليكن Df مجال تعريف متناظر بالنسبة إلى الصفر (أي إذا كان x ∈ Df فإن -x ∈ Df):

• الدالة الزوجية (Fonction Paire):
  • الشرط: f(-x) = f(x)
  • التفسير الهندسي: منحنى الدالة متناظر بالنسبة إلى محور التراتيب (yy').
• الدالة الفردية (Fonction Impaire):
  • الشرط: f(-x) = -f(x)
  • التفسير الهندسي: منحنى الدالة متناظر بالنسبة إلى مبدأ المعلم O(0; 0).

---

5. مركز ومحور التناظر للمنحنى

أ. مركز التناظر (Centre de Symétrie)

تكون النقطة Ω(a; b) مركز تناظر للمنحنى (Cf) إذا وفقط إذا تحقق الشرطان:

1. من أجل كل x ∈ Df، فإن (2a - x) ∈ Df.
2. الدستور:

ب. محور التناظر (Axe de Symétrie)

يكون المستقيم ذو المعادلة x = a محور تناظر للمنحنى (Cf) إذا وفقط إذا تحقق الشرطان:

1. من أجل كل x ∈ Df، فإن (2a - x) ∈ Df.
2. الدستور:

---

6. دراسة الوضع النسبي بين المنحنى (Cf) والمستقيم (D)

لمعرفة موضع المنحنى (Cf) بالنسبة للمستقيم (D) ذي المعادلة y = ax + b، نقوم بدراسة إشارة الفرق: f(x) - y:

• إذا كان f(x) - y > 0: المنحنى (Cf) يقع فوق المستقيم (D).
• إذا كان f(x) - y < 0: المنحنى (Cf) يقع تحت المستقيم (D).
• إذا كان f(x) - y = 0: المنحنى (Cf) يقطع المستقيم (D) عند نقطة الفاصلة x.