النهايات، المستقيمات المقاربة والفروع اللانهائية

📸 الوثيقة المرجعية الرسمية للدرس (الأستاذ توامي Maths - mathonec.com):

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

---

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

1. نهايات الدوال المرجعية

• دالة المقلوب: lim (1 / xⁿ) = 0 عندما يؤول x إلى +∞ أو -∞ (مع n ∈ ℕ*).
• دالة القوى xⁿ عند -∞:
  • إذا كان n زوجياً: lim xⁿ = +∞
  • إذا كان n فردياً: lim xⁿ = -∞
• الدالة الجذرية: lim √x = +∞ عند +∞.
• الدوال كثيرات الحدود عند اللانهاية: نهاية كثير حدود عند +∞ أو -∞ هي نهاية حده الأعلى درجة.
• الدوال الناطقة عند اللانهاية: نهاية دالة كسرية عند +∞ أو -∞ هي نهاية حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة.

2. حالات عدم التعيين الأربعة (F.I) وطرق إزالتها

تنبيه: العمليات التالية ليست حالات عدم تعيين:

• (+∞) + (+∞) = +∞
• (-∞) + (-∞) = -∞
• L / ±∞ = 0
• L / 0 = ±∞ (تُحدد الإشارة حسب إشارة البسط والمقام)

طرق إزالة عدم التعيين في البكالوريا:

1. أخذ العامل المشترك الأكبر: لإزالة (+∞ - ∞) أو (∞ / ∞).
2. التحليل والاختزال: لإزالة (0 / 0) في الدوال الناطقة (باستعمال القسمة الإقليدية أو المتطابقات الشهيرة).
3. الضرب في المرافق والقسمة عليه: تستعمل في الدوال الصماء التي تحوي جذوراً √(ax² + bx + c).
4. استعمال العدد المشتق: لإزالة (0 / 0) بتطبيق القانون: lim [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) = f'(x₀).

3. النهايات المثلثية الشهيرة (تُقبل بدون برهان)

• lim [sin(x) / x] = 1 عندما x → 0
• lim [tan(x) / x] = 1 عندما x → 0
• lim [(1 - cos x) / x] = 0 عندما x → 0
• lim [(1 - cos x) / x²] = 1/2 عندما x → 0
• lim [sin(αx) / (βx)] = α / β عندما x → 0

4. مبرهنات المقارنة والحصر (مبرهنة الساندويتش)

• مبرهنة الحصر: إذا كانت g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) وكانت lim g(x) = lim h(x) = L فإن: lim f(x) = L.
• مبرهنات المقارنة عند اللانهاية:
  • إذا كانت f(x) ≥ g(x) وكانت lim g(x) = +∞ فإن: lim f(x) = +∞.
  • إذا كانت f(x) ≤ g(x) وكانت lim g(x) = -∞ فإن: lim f(x) = -∞.

5. نهاية مركب دالتين

إذا كانت lim u(x) = b عندما x → a، وكانت lim v(X) = L عندما X → b، فإن:

6. المستقيمات المقاربة (Asymptotes)

أ. المستقيم المقارب العمودي (موازي لمحور التراتيب)

• الشرط: إذا كانت lim f(x) = ±∞ عندما يؤول x إلى عدد حقيقي a (بقيم كبرى أو صغرى).
• المعادلة: x = a مستقيم مقارب عمودي للمنحنى (Cf).

ب. المستقيم المقارب الأفقي (موازي لمحور الفواصل)

• الشرط: إذا كانت lim f(x) = b عندما يؤول x إلى +∞ أو -∞.
• المعادلة: y = b مستقيم مقارب أفقي للمنحنى (Cf) بجوار ±∞.

ج. المستقيم المقارب المائل

• الشرط: إذا كانت: lim [f(x) - (ax + b)] = 0 عندما يؤول x إلى +∞ أو -∞.
• المعادلة: y = ax + b (مع a ≠ 0) مستقيم مقارب مائل للمنحنى (Cf) بجوار ±∞.

7. الفروع اللانهائية (Branches Infinies)

عندما تكون lim f(x) = ±∞ عند ±∞، نقوم بحساب نهاية النسبة f(x) / x:

1. إذا كانت lim [f(x) / x] = 0: المنحنى (Cf) يقبل فرعاً مكافئاً باتجاه محور الفواصل (xx').
2. إذا كانت lim [f(x) / x] = ±∞: المنحنى (Cf) يقبل فرعاً مكافئاً باتجاه محور التراتيب (yy').
3. إذا كانت lim [f(x) / x] = a (مع a ≠ 0): نقوم بحساب lim [f(x) - ax]:
   • إذا كانت تساوي b: المستقيم y = ax + b مقارب مائل.
   • إذا كانت تساوي ±∞: يقبل المنحنى فرعاً مكافئاً باتجاه المستقيم ذي المعادلة y = ax.