الأعداد المركبة، التفسيرات الهندسية والتحويلات النقطية

📸 الوثيقة المرجعية الرسمية للدرس (الأستاذ توامي Maths - mathonec.com):

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

---

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

1. أشكال العدد المركب غير المعدوم z

أ. الشكل الجبري (Forme Algébrique)

z = x + i y (مع x, y ∈ ℝ و i² = -1)

• Re(z) = x (الجزء الحقيقي)، Im(z) = y (الجزء التخيلي).
• المرافق (Conjugué): z̄ = x - i y ، والخواص: z × z̄ = x² + y² ، z + z̄ = 2x ، z - z̄ = 2iy.

ب. الشكل المثلثي (Forme Trigonométrique)

z = r (cos θ + i sin θ)

• الطويلة (Module): r = |z| = √(x² + y²)
• العمدة (Argument): θ = arg(z) حيث: cos θ = x / r و sin θ = y / r.

ج. الشكل الأسي (Forme Exponentielle)

z = r e^(iθ) (باستعمال صيغة أولر: e^(iθ) = cos θ + i sin θ)

2. خواص الطويلة والعمدة

3. التوظيف الهندسي للأعداد المركبة

• المسافة بين نقطتين: AB = |z_B - z_A|
• لاحقة منتصف قطعة مستقيمة: z_I = (z_A + z_B) / 2
• لاحقة مرجح النقط المنسبة: z_G = (α z_A + β z_B + γ z_C) / (α + β + γ)
• استقامية 3 نقط A, B, C:
  (z_C - z_A) / (z_B - z_A) ∈ ℝ ⟺ النقط A, B, C على استقامة واحدة
• تعامد مستقيمين (AB) ⊥ (CD):
  (z_D - z_C) / (z_B - z_A) عدد تخيلي صرف (أي الجزء الحقيقي معدوم)
• قيس الزوايا الموجهة:
  • (u⃗; AB⃗) = arg(z_B - z_A)
  • (AB⃗; AC⃗) = arg[(z_C - z_A) / (z_B - z_A)]
  • (AB⃗; CD⃗) = arg[(z_D - z_C) / (z_B - z_A)]

4. التعرف على طبيعة المثلثات والرباعيات

• المثلثات: بدراسة النسبة Z = (z_C - z_A) / (z_B - z_A):
  • إذا كان |Z| = 1 و arg(Z) = ±π/2: مثلث قائم ومتساوي الساقين في A.
  • إذا كان |Z| = 1 و arg(Z) = ±π/3: مثلث متقايس الأضلاع.
  • إذا كان arg(Z) = ±π/2: مثلث قائم في A.
  • إذا كان |Z| = 1: مثلث متساوي الساقين في A.
• الرباعيات:
  • متوازي أضلاع: z_B - z_A = z_C - z_D (أو القطران لهما نفس المنتصف).
  • مستطيل: متوازي أضلاع + زاوية قائمة (أو القطران متقايسان |z_C - z_A| = |z_D - z_B|).
  • معين: متوازي أضلاع + ضلعان متجاوران متقايسان (أو القطران متعامدان).
  • مربع: معين ومستطيل في آن واحد (قطران متعامدان ومتقايسان معاً).

5. التحويلات النقطية في المستوي المركب: z' = a z + b

العبارة المركبة العامة للتحويل هي: z' = a z + b (حيث a, b ∈ ℂ و a ≠ 0):