المتتاليات العددية — الحسابية، الهندسية، التقارب والمتتاليات المتجاورة

📸 الوثيقة المرجعية الرسمية للدرس (الأستاذ توامي Maths - mathonec.com):

$المتتاليات العددية: الحسابية والهندسية والتقارب$

🔍 فتح صفحة الملخص الأصلية بالحجم الكامل (HD)

1. المفاهيم الأساسية للمتتاليات

طرق توليد متتالية:
- شكل صريح: uₙ = f(n) (الحساب المباشر للحدود).
- علاقة تراجعية: يعطى الحد الأول u₀ وتُعطى العلاقة uₙ₊₁ = f(uₙ).
اتجاه تغير متتالية:
- إذا كان uₙ₊₁ - uₙ > 0: المتتالية متزايدة تماماً.
- إذا كان uₙ₊₁ - uₙ < 0: المتتالية متناقصة تماماً.
- إذا كان uₙ₊₁ - uₙ = 0: المتتالية ثابتة.
قانون حساب عدد الحدود:
عدد الحدود = دليل الحد الأخير - دليل الحد الأول + 1

2. جدول المقارنة الشامل الدقيق: المتتالية الحسابية vs المتتالية الهندسية

العنصر	المتتالية الحسابية (Suite Arithmétique)	المتتالية الهندسية (Suite Géométrique)
التعريف التراجعي	`uₙ₊₁ = uₙ + r` (حيث r هو الأساس)	`uₙ₊₁ = uₙ × q` (حيث q هو الأساس)
الحد العام بدلالة u₀	`uₙ = u₀ + n × r`	`uₙ = u₀ × qⁿ`
الحد العام بدلالة حد كيفي uₚ	`uₙ = uₚ + (n - p) × r`	`uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ`
خاصية الحدود المتعاقبة (الوسط)	إذا كانت a, b, c حدوداً متعاقبة: `a + c = 2b` (الوسط الحسابي)	إذا كانت a, b, c حدوداً متعاقبة موجبة: `a × c = b²` (الوسط الهندسي)
مجموع حدود متعاقبة Sₙ	`S = (عدد الحدود / 2) × [الحد الأول + الحد الأخير]`	`S = الحد الأول × [(1 - q^(عدد الحدود)) / (1 - q)]` (مع q ≠ 1)
شرط التقارب	تتقارب فقط إذا كان الأساس `r = 0` (متتالية ثابتة)	تتقارب إذا كان الأساس: `-1 < q < 1` ونهايتها 0

💡 تنبيه هام في البكالوريا: في مجموع المتتالية الهندسية، الأس هو عدد الحدود دائماً. مثلاً من u₀ إلى uₙ عدد الحدود هو n + 1 فتكون العبارة: S = u₀ × [(1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q)].

3. المتتالية التراجعية النمطية: uₙ₊₁ = a uₙ + b

في معظم تمارين البكالوريا، تُعطى متتالية بالشكل uₙ₊₁ = a uₙ + b مع a ≠ 1 و b ≠ 0:

النقطة الصامدة: نحل المعادلة l = a·l + b فنجد الحل α = b / (1 - a).
المتتالية المساعدة الهندسية: نضع المتتالية vₙ = uₙ - α.
تكون (vₙ) متتالية هندسية أساسها q = a وحدها الأول v₀ = u₀ - α.
نكتب عبارة vₙ = v₀ × aⁿ ثم نستنتج عبارة uₙ = vₙ + α = v₀ × aⁿ + α.

4. مبرهنات تقارب المتتاليات (Théorèmes de Convergence)

1. كل متتالية متزايدة تماماً ومحدودة من الأعلى هي متتالية متقاربة.

2. كل متتالية متناقصة تماماً ومحدودة من الأسفل هي متتالية متقاربة.

5. المتتاليتان المتجاورتان (Suites Adjacentes)

نقول عن متتاليتين (uₙ) و (vₙ) أنهما متجاورتان إذا وفقط إذا تحقق الشروط الثلاثة:

إحداهما متزايدة.
والأخرى متناقصة.
ونهاية فرقهما معدومة: lim (uₙ - vₙ) = 0 عندما n → +∞.

نتيجة: المتتاليتان المتجاورتان متقاربتان ولهما نفس النهاية L.

الرياضيات بكالوريا: المتتاليات العددية — الحسابية والهندسية والتقارب